行列式部分知识点总结

线性代数·行列式

行列式的定义

2阶行列式

对于线性方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b 1 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b 2 \end{cases}$ 而言，称 $a_{11} a_{12} - a_{21} a_{22}$ 为二阶方阵 $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ 的行列式，记作 $| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{12} - a_{21} a_{22}$ ，即主对角线上的乘积减去右对角线上的乘积，即对角线法则。

3阶行列式

类似2阶行列式，对于线性方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b 1 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b 2 \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b 3 \end{cases}$ 而言，称 $a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$ 为3阶方阵 $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$ 的行列式，记作 $| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$

3阶行列式同样具有对角线法则。

n阶行列式

形如 $| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array} |$ 的行列式，不具备对角线法则，但是可以通过行列式展开公式分解成若干个3阶行列式来计算。

行列式的性质

余子式和代数余子式

在n阶行列式det( $a_{i j}$ )中，将元素 $a_{i j}$ (i,j=1,2, $\dots$ ,n)所在的第i行和第j列划去，余下的元素按照次序不变，构成新的n-1阶行列式称为元素 $a_{i j}$ 的余子式，记为 $M_{i j}$ ；称 $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。

n阶行列式det( $a_{i j}$ )等于其任意一行（或列）元素与其对应的代数余子式乘积之和.,这就是行列式的展开法则.

性质归纳

1.行列式与它的转置行列式相等,”行”与”列”具有相同的地位.

2.如果交换n(n $\geq$ 2)阶行列式的某两行或某两列,则行列式的值变号.

推论2.1 如果行列式的某两行(或两列)的元素完全相同,则行列式值为0

3.如果行列式的某一行(或一列)具有公因子,则可以把公因子提到外面.

推论3.1 如果A是n阶矩阵,则 $| λ A | = λ^{n} | A |$

推论3.2 如果行列式的某两行(或两列)的元素对应成比例,则行列式的值为0

4.可以将行列式分解为两个行列式的和

| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} + b_{i 1} & a_{i 2} + b_{i 2} & \dots & a_{i n} + b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |

5.如果行列式的某一行(或某一列)的所有元素乘同一数,然后加到另一行(或列)的对应元素上,则行列式的值不变.

6. 某一行所有元素与另外一行所有元素的代数余子式乘积之和为0.

逆序数的使用

逆序数的定义

设有一串数据排列( $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ ),对于其中一个元素而言,记录其之后所有比它小的元素的个数为x,将所有元素的x值加起来就是该排列的逆序数.

若逆序数为偶数,该排列为偶排列;反之则为奇排列.

在行列式中的使用

对于n阶行列式而言,其多项式共有 $n^{2}$ 个不同项 $a_{i 1 j 1} a_{i 2 j 2} a_{i 3 j 3} a_{i 4 j 4}$ ,取其排列(j1,j2,j3,j4)的逆序数k,则此项 $a_{i 1 j 1} a_{i 2 j 2} a_{i 3 j 3} a_{i 4 j 4}$ 前面的符号为 $(- 1)^{k}$ .

拉普拉斯公式

特殊的行列式

三角行列式

正三角行列式:以正对角线为界,其中一块区域全为0的行列式,其值为正对角线元素的乘积

负三角行列式:以负对角线为界,其中一块区域全为0,其值为负对角线元素的乘积乘以 $(- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)}$ .

方阵行列式

1. 设A=( $a_{i j}$ ),B=( $b_{i j}$ ),C=( $c_{i j}$ )分别是n阶,m阶和n*m阶矩阵,则有:

| \begin{array}{cccc} A & O \\ C & B \end{array} | = | A | | B | $ $ 和 $ $ | \begin{array}{cccc} A & C \\ O & B \end{array} | = | A | | B |

| \begin{array}{cccc} O & A \\ B & C \end{array} | = (- 1)^{m n} | A | | B | $ $ 和 $ $ | \begin{array}{cccc} C & A \\ B & O \end{array} | = (- 1)^{m n} | A | | B |

2. 如果分块对角矩阵A= $(\begin{matrix} A_{1} & O & \dots & O \\ O & A_{2} & \dots & O \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ O & O & \dots & A_{n} \end{matrix})$ ,其中 $A_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 都是方阵,则有:

| \begin{array}{cccc} A_{1} & O & \dots & O \\ O & A_{2} & \dots & O \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ O & O & \dots & A_{n} \end{array} | = | A_{1} | | A_{2} | \dots | A_{n} | $ $; * * 3. * * 如 果 A, B 都 是 n 阶 方 阵, 则 $ $ | A B | = | A | | B |

范德蒙德公式

D_{n} = | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{array} | = \prod_{1 \leq j \leq i \leq n} (x_{i} - x_{j})

克拉默法则

内容

对于线性方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b 1 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b 2 \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b n \end{cases}$ 而言,若其系数行列式 $D = | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \neq 0$ ,则该方程组有唯一解: $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, \dots, x_{n} = \frac{D_{n}}{D}$ .

其中 $D_{i}$ 为将D的第i列替换为 $(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ 所形成的新行列式.

拓展

推论1: 若齐次方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0 \end{cases}$ 的系数行列式不为0,则方程组有唯一的0解:

x_{1} = 0, x_{2} = 0, \dots, x_{n} = 0

推论2: 若上述其次方程组有非零解,则它的系数行列式一定为0.